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JA口径比
N = FD
N = FD
N = FD
N = FD
N = FD
N = FD
N = FD
N = FD
N = FD
N = FD
Nが小さいほど、撮影では「明るい」光学系になり、視界も広くなります。
代表的な値： ニュートン式F4～F6、シュミットカセグレンF10、マクストフF12～F15。
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便利な公式集
アマチュア天文家の公式を1枚のカードにまとめました。どの公式も双方向に使えます。1つを除くすべての欄を埋めれば、どの値であっても空いた欄をカードが計算します。
例：焦点距離1000mmの望遠鏡で100倍にするアイピースは？ 倍率のカードでF = 1000、M = 100と入力し、fを空けておくと、10mmと表示されます。すべての欄が埋まっているときは、値が互いに合っているかを確かめます。小数点はピリオドでもコンマでも入力できます。
印刷版には入力欄がなく、公式とその意味、代表的な値だけを載せています。望遠鏡のそばに置く2ページと、球面三角法の3ページ目です。
望遠鏡
集光力
L = (Dpœil)2
L = (Dpeye)2
L = (DpAuge)2
L = (Dpojo)2
L = (Dpocchio)2
L = (Dp眼)2
L = (Dpгл)2
L = (Dpolho)2
L = (Dpoog)2
L = (Dp眼)2
肉眼の何倍の光を集めるか。口径と瞳孔の面積の比です。
代表的な値： 114mm：265倍、200mm：816倍。瞳孔径は若い人で7mm、50歳を過ぎると5～6mm。
限界等級
mlim ≈ 2 + 5 log10 D
mlim ≈ 2 + 5 log10 D
mlim ≈ 2 + 5 log10 D
mlim ≈ 2 + 5 log10 D
mlim ≈ 2 + 5 log10 D
mlim ≈ 2 + 5 log10 D
mlim ≈ 2 + 5 log10 D
mlim ≈ 2 + 5 log10 D
mlim ≈ 2 + 5 log10 D
mlim ≈ 2 + 5 log10 D
暗い空の下で、アイピースで見える最も暗い星の等級。
代表的な値： 114mm：12.3等、200mm：13.5等。よく使われる近似で、2.7 + 5 log Dとする式もあります。空の条件、経験、倍率で1等ほど変わります。
中央遮蔽
o = dsD
o = dsD
o = dsD
o = dsD
o = dsD
o = dsD
o = dsD
o = dsD
o = dsD
o = dsD
斜鏡に隠される直径の割合。失われる光はo²です（25% → 6%）。
代表的な値： 眼視用ニュートン式15～25%、シュミットカセグレン30～35%。25%を超えると、コントラストがはっきり落ちます。
アイピースと倍率
倍率
G = Ff
M = Ff
V = Ff
A = Ff
I = Ff
M = Ff
Г = Ff
A = Ff
V = Ff
M = Ff
何倍に大きく見えるか。望遠鏡とアイピースの焦点距離の比です。
代表的な値： 1000mmの望遠鏡で、25mmのアイピースは40倍、10mmは100倍。
バローレンズ使用時の倍率
G = B × Ff
M = B × Ff
V = B × Ff
A = B × Ff
I = B × Ff
M = B × Ff
Г = B × Ff
A = B × Ff
V = B × Ff
M = B × Ff
2倍のバローレンズは焦点距離を2倍にし、倍率も2倍になります。レデューサーの倍率は1未満です。
代表的な値： バローレンズ2倍または2.5倍、レデューサー0.63倍。
射出瞳径
p = DG
p = DM
AP = DV
p = DA
p = DI
p = DM
p = DГ
p = DA
p = DV
p = DM
アイピースから出て目に入る光束の幅。像の明るさが決まります。
代表的な値： 5～7mm：広い視界向き、1～2mm：銀河や惑星向き。0.5mm未満では像がぼやけます。
アイピースから求める射出瞳径
p = fN
p = fN
AP = fN
p = fN
p = fN
p = fN
p = fN
p = fN
p = fN
p = fN
同じ射出瞳径を、アイピースの焦点距離と口径比から求めます。
代表的な値： F5で、25mmのアイピースは5mm、10mmは2mm。
有効最低倍率
Gmin = Dpœil
Mmin = Dpeye
Vmin = DpAuge
Amin = Dpojo
Imin = Dpocchio
Mmin = Dp眼
Гmin = Dpгл
Amin = Dpolho
Vmin = Dpoog
Mmin = Dp眼
これより低いと射出瞳径が瞳孔より大きくなり、光の一部が失われます。
代表的な値： 瞳孔径7mm（若い人）～5mm（50歳以上）。200mmで29～40倍。
有効最高倍率
Gmax ≈ 2 × D
Mmax ≈ 2 × D
Vmax ≈ 2 × D
Amax ≈ 2 × D
Imax ≈ 2 × D
Mmax ≈ 2 × D
Гmax ≈ 2 × D
Amax ≈ 2 × D
Vmax ≈ 2 × D
Mmax ≈ 2 × D
これを超えると像は大きくなっても新しい細部は見えません（射出瞳径0.5mm）。
代表的な値： 完全な光学系で口径1mmあたり2倍（1インチあたり50倍）。実際には光学系の精度や光軸調整のために1mmあたり1倍（M = D）程度、シーイングのために200～250倍に制限されることがよくあります。
実視界
Cr = CaG
TF = AFM
wGF = sGFV
Cr = CaA
Cr = CaI
TF = AFM
2ω = 2ω′Г
Cr = CaA
GVw = GVsV
TF = AFM
アイピースで見える空の範囲。見かけ視界を倍率で割った値です。
代表的な値： プローセル50～52°、広視界68～82°、超広視界100°。満月の視直径は0.5°。
視野絞りから求める実視界
Cr = 57,3 × dcF
TF = 57.3 × dfsF
wGF = 57,3 × dF
Cr = 57,3 × dcF
Cr = 57,3 × dcF
TF = 57.3 × dfsF
2ω = 57,3 × dпдF
Cr = 57,3 × dcF
GVw = 57,3 × dvsF
TF = 57.3 × dfsF
最も正確な方法。アイピースの視野絞りを対物側から見た角度です。
代表的な値： 25mmプローセル：視野絞り約27mm。最大で31.7mmスリーブでは27mm、50.8mmスリーブでは46mm。
分解能
分解能（ドーズの限界）
ρ = 116D
ρ = 116D
ρ = 116D
ρ = 116D
ρ = 116D
ρ = 116D
ρ = 116D
ρ = 116D
ρ = 116D
ρ = 116D
同じ明るさの2つの星が分かれて見える最小の間隔。
代表的な値： 114mm：1.0″、200mm：0.58″。シーイングにより1～2″に制限されることがよくあります。
分解能（レイリーの限界）
ρ = 138D
ρ = 138D
ρ = 138D
ρ = 138D
ρ = 138D
ρ = 138D
ρ = 138D
ρ = 138D
ρ = 138D
ρ = 138D
回折による理論的な基準1.22 λ/Dで、緑色の光（550nm）での値。ドーズの限界より少し厳しい値です。
代表的な値： 114mm：1.2″、200mm：0.69″。
天体撮影
焦点面スケール
E = 206 265F
E = 206 265F
E = 206 265F
E = 206 265F
E = 206 265F
E = 206 265F
E = 206 265F
E = 206 265F
E = 206 265F
E = 206 265F
焦点面の1mmに写る空の角度。
代表的な値： 1000mm：206″/mm、2000mm：103″/mm。
サンプリング
e = 206,265 × pxF
e = 206.265 × pxF
e = 206,265 × pxF
e = 206,265 × pxF
e = 206,265 × pxF
e = 206.265 × pxF
e = 206,265 × pxF
e = 206,265 × pxF
e = 206,265 × pxF
e = 206.265 × pxF
1ピクセルに写る空の角度。
代表的な値： 星雲・星団：シーイングに応じて1～2″/px、惑星：0.1～0.3″/px。
センサーの写野
θ = 57,3 × hF
θ = 57.3 × hF
θ = 57,3 × hF
θ = 57,3 × hF
θ = 57,3 × hF
θ = 57.3 × hF
θ = 57,3 × hF
θ = 57,3 × hF
θ = 57,3 × hF
θ = 57.3 × hF
センサーの1辺が写す角度（小角近似。20°未満で誤差1%以内）。
代表的な値： APS-C 23.5 × 15.6mm、フルサイズ36 × 24mm、小型の惑星用カメラ11 × 6mm。
焦点面での像の大きさ
d = F × θrad
d = F × θrad
d = F × θrad
d = F × θrad
d = F × θrad
d = F × θrad
d = F × θrad
d = F × θrad
d = F × θrad
d = F × θrad
センサー上での月や惑星の直径。
代表的な値： 焦点距離1000mmで、月（31′）は9mm、木星（45″）は0.22mm。
500ルール
t = 500k × F
t = 500k × F
t = 500k × F
t = 500k × F
t = 500k × F
t = 500k × F
t = 500k × F
t = 500k × F
t = 500k × F
t = 500k × F
三脚固定で星が流れない最長露出時間。簡単ですが、今のセンサーには楽観的すぎます。
代表的な値： フルサイズで24mm：21秒、APS-C（k = 1.5）で18mm：19秒。
NPFルール
t = 35 N + 30 pxF
t = 35 N + 30 pxF
t = 35 N + 30 pxF
t = 35 N + 30 pxF
t = 35 N + 30 pxF
t = 35 N + 30 pxF
t = 35 N + 30 pxF
t = 35 N + 30 pxF
t = 35 N + 30 pxF
t = 35 N + 30 pxF
口径と画素ピッチも考えに入れた、星が流れない最長露出時間（フランス天文学会のFrédéric Michaudによる簡略式）。
代表的な値： 14mm F2.8、画素ピッチ4.3µm：16秒。
クリティカルフォーカスゾーン
Z = 4,88 λ N2
Z = 4.88 λ N2
Z = 4,88 λ N2
Z = 4,88 λ N2
Z = 4,88 λ N2
Z = 4.88 λ N2
Z = 4,88 λ N2
Z = 4,88 λ N2
Z = 4,88 λ N2
Z = 4.88 λ N2
像がシャープに保たれる奥行き。Nが小さいほどピント合わせが難しくなります。
代表的な値： λ = 0.55µm：F4で43µm、F10で268µm。
数字で見る宇宙
視直径
θrad = sd
θrad = sd
θrad = sd
θrad = sd
θrad = sd
θrad = sd
θrad = sd
θrad = sd
θrad = sd
θrad = sd
天体の実際の大きさと距離から求める、天体が張る角度。
代表的な値： 月：384,400kmの距離で3474km、31′。太陽：32′。
距離指数
m − M = 5 log10 (d10 pc)
m − M = 5 log10 (d10 pc)
m − M = 5 log10 (d10 pc)
m − M = 5 log10 (d10 pc)
m − M = 5 log10 (d10 pc)
m − M = 5 log10 (d10 pc)
m − M = 5 log10 (d10 pc)
m − M = 5 log10 (d10 pc)
m − M = 5 log10 (d10 pc)
m − M = 5 log10 (d10 pc)
見かけの等級m、絶対等級M（10パーセクの距離から見た明るさ）、距離を結びつけます。
代表的な値： ベガ：M = 0.6、距離7.68pc、m = 0.03。太陽：M = 4.83。
光の到達時間
t = dc
t = dc
t = dc
t = dc
t = dc
t = dc
t = dc
t = dc
t = dc
t = dc
光が届くまでにかかる時間。天体は、その時間だけ昔の姿で見えています。
代表的な値： 月：1.3秒、太陽：8分19秒、プロキシマ・ケンタウリ：4.2年。
望遠鏡の自作
鏡の深さ（サジッタ）
s = D216 F
s = D216 F
s = D216 F
s = D216 F
s = D216 F
s = D216 F
s = D216 F
s = D216 F
s = D216 F
s = D216 F
鏡の中央のくぼみの深さ。荒ずりの目標値です。
代表的な値： 200mmで焦点距離1000mm：2.5mm、150mmで焦点距離1200mm：1.2mm。
球面三角法
天球上で互いに交わる3つの大円は、球面三角形を作ります。その辺は弧で、球の中心から見た角度で測ります。角は大円どうしがなす角です。辺も角も0～180°の範囲にあります。辺の余弦定理は、イスラム世界の天文学者や後のレギオモンタヌスに別の形ですでに知られていました。その双対形である角の余弦定理を1593年に発表したのはフランソワ・ヴィエトとされ、両者ともしばしば彼の名で呼ばれます。角度は度・分角・秒角で入力できます。逆正弦や逆余弦から値を求めるときは2つの答えがあり得るため、カードは主な解を示し、もう1つの解にも触れます。
辺の余弦定理
cos a = cos b · cos c + sin b · sin c · cos A
cos a = cos b · cos c + sin b · sin c · cos A
cos a = cos b · cos c + sin b · sin c · cos A
cos a = cos b · cos c + sin b · sin c · cos A
cos a = cos b · cos c + sin b · sin c · cos A
cos a = cos b · cos c + sin b · sin c · cos A
cos a = cos b · cos c + sin b · sin c · cos A
cos a = cos b · cos c + sin b · sin c · cos A
cos a = cos b · cos c + sin b · sin c · cos A
cos a = cos b · cos c + sin b · sin c · cos A
2辺とその間の角から残りの辺を求めます。位置天文学で最もよく使う式です。
代表的な値： b = 60°、c = 70°、A = 80°：a ≈ 71.8°。bまたはcが未知のときは、2つの値があり得ます。
角の余弦定理
cos A = −cos B · cos C + sin B · sin C · cos a
cos A = −cos B · cos C + sin B · sin C · cos a
cos A = −cos B · cos C + sin B · sin C · cos a
cos A = −cos B · cos C + sin B · sin C · cos a
cos A = −cos B · cos C + sin B · sin C · cos a
cos A = −cos B · cos C + sin B · sin C · cos a
cos A = −cos B · cos C + sin B · sin C · cos a
cos A = −cos B · cos C + sin B · sin C · cos a
cos A = −cos B · cos C + sin B · sin C · cos a
cos A = −cos B · cos C + sin B · sin C · cos a
前の式と対をなす式。2つの角とそれを結ぶ辺から、残りの角を求めます。
代表的な値： B = 60°、C = 70°、a = 50°：A ≈ 69.4°。球面三角形の内角の和は常に180°より大きくなります。
正弦定理
sin asin A = sin bsin B
sin asin A = sin bsin B
sin asin A = sin bsin B
sin asin A = sin bsin B
sin asin A = sin bsin B
sin asin A = sin bsin B
sin asin A = sin bsin B
sin asin A = sin bsin B
sin asin A = sin bsin B
sin asin A = sin bsin B
辺の正弦を対角の正弦で割った値は、3組とも同じになります。
代表的な値： A = 60°、b = 50°、B = 70°：a ≈ 44.9°。正弦ではxと180° − xを区別できないため、2つ目の解があり得るときはカードがそれに触れます。どちらを採るかは図で判断します。
天体の高度
sin Hc = sin φ · sin δ + cos φ · cos δ · cos AHL
sin Hc = sin φ · sin δ + cos φ · cos δ · cos LHA
sin hr = sin φ · sin δ + cos φ · cos δ · cos t
sin ae = sin φ · sin δ + cos φ · cos δ · cos hL
sin hs = sin φ · sin δ + cos φ · cos δ · cos t
sin hc = sin φ · sin δ + cos φ · cos δ · cos LHA
sin hс = sin φ · sin δ + cos φ · cos δ · cos tм
sin ae = sin φ · sin δ + cos φ · cos δ · cos AHL
sin Hc = sin φ · sin δ + cos φ · cos δ · cos LHA
sin Hc = sin φ · sin δ + cos φ · cos δ · cos LHA
天文三角形（天の極、天頂、天体）での余弦定理。緯度φ、赤緯δ、地方時角LHAから計算高度Hcを求めます。
代表的な値： パリ（φ = 48.85°）、ベガ（δ = 38.78°）、LHA = 30°：Hc ≈ 66.3°。LHAはxと360° − xで同じ高度になります。
天体の方位角
cos Z = sin δ − sin φ · sin Hccos φ · cos Hc
cos Z = sin δ − sin φ · sin Hccos φ · cos Hc
cos Z = sin δ − sin φ · sin hrcos φ · cos hr
cos Z = sin δ − sin φ · sin aecos φ · cos ae
cos Z = sin δ − sin φ · sin hscos φ · cos hs
cos Z = sin δ − sin φ · sin hccos φ · cos hc
cos Z = sin δ − sin φ · sin hсcos φ · cos hс
cos Z = sin δ − sin φ · sin aecos φ · cos ae
cos Z = sin δ − sin φ · sin Hccos φ · cos Hc
cos Z = sin δ − sin φ · sin Hccos φ · cos Hc
同じ三角形から、北から東または西へ0～180°で測った角Zを求めます。LHA < 180°なら天体は西にあり、方位角は360° − Z、それ以外はZです。カードはZを0～180°の範囲で解きます。
代表的な値： 同じ例でZ ≈ 103.8°、LHA = 30°なので、方位角は約256.2°で、西にあります。