Rapport F/D
N = FD
N = FD
Plus N est petit, plus l’instrument est « rapide » en photo et plus son champ est large.
Valeurs typiques : Newton f/4 à f/6 ; Schmidt-Cassegrain f/10 ; Maksutov f/12 à f/15.
Formules utiles
Les formules de l’astronome amateur sur une seule carte. Chacune marche dans les deux sens : remplissez toutes les cases sauf une, et la carte calcule celle qui manque, quelle qu’elle soit.
Exemple : quel oculaire donne 100× sur un télescope de 1 000 mm de focale ? Dans la carte du grossissement, entrez F = 1 000 et G = 100, videz f : la carte affiche 10 mm. Si toutes les cases sont remplies, elle vérifie que les valeurs vont ensemble. Les décimales s’écrivent avec une virgule ou un point.
La version imprimée garde les formules, leur sens et les valeurs typiques, sans les cases à remplir : deux pages à garder près de l’instrument, et une troisième pour la trigonométrie sphérique.
L’instrument
Pouvoir collecteur
L = (Dpœil)2
L = (Dpeye)2
Combien de fois plus de lumière que l’œil nu : le rapport des surfaces de l’objectif et de la pupille.
Valeurs typiques : 114 mm : 265 fois ; 200 mm : 816 fois. Pupille de 7 mm jeune, 5 à 6 mm après 50 ans.
Magnitude limite
mlim ≈ 2 + 5 log10 D
mlim ≈ 2 + 5 log10 D
Les étoiles les plus faibles visibles à l’oculaire sous un ciel noir.
Valeurs typiques : 114 mm : 12,3 ; 200 mm : 13,5. Approximation courante ; d’autres donnent 2,7 + 5 log D. Ciel, expérience et grossissement font varier le résultat d’une magnitude.
Obstruction centrale
o = dsD
o = dsD
La part du diamètre masquée par le miroir secondaire ; la lumière perdue vaut o² (25 % → 6 %).
Valeurs typiques : Newton visuel 15 à 25 % ; Schmidt-Cassegrain 30 à 35 %. Au-delà de 25 %, le contraste baisse nettement.
Oculaires et grossissement
Grossissement
G = Ff
M = Ff
La focale de l’instrument divisée par celle de l’oculaire.
Valeurs typiques : Sur 1 000 mm : oculaire de 25 mm, 40× ; de 10 mm, 100×.
Grossissement avec une Barlow
G = B × Ff
M = B × Ff
Une Barlow ×2 double la focale, donc le grossissement ; un réducteur a un facteur inférieur à 1.
Valeurs typiques : Barlow ×2 ou ×2,5 ; réducteur ×0,63.
Pupille de sortie
p = DG
p = DM
Le diamètre du faisceau qui sort de l’oculaire et entre dans l’œil ; il règle la luminosité de l’image.
Valeurs typiques : 5 à 7 mm : grands champs ; 1 à 2 mm : galaxies, planètes ; sous 0,5 mm, l’image devient floue.
Pupille de sortie par l’oculaire
p = fN
p = fN
La même pupille, calculée avec la focale de l’oculaire et le rapport F/D.
Valeurs typiques : À f/5 : oculaire de 25 mm, 5 mm ; de 10 mm, 2 mm.
Grossissement minimal utile
Gmin = Dpœil
Mmin = Dpeye
En dessous, la pupille de sortie dépasse celle de l’œil : une partie de la lumière est perdue.
Valeurs typiques : Pupille de 7 mm (jeune) à 5 mm (après 50 ans) ; 200 mm : de 29× à 40×.
Grossissement maximal utile
Gmax ≈ 2 × D
Mmax ≈ 2 × D
Au-delà, l’image grossit sans montrer de nouveaux détails (pupille de sortie de 0,5 mm).
Valeurs typiques : 2× par mm de diamètre, 50× par pouce, pour une optique parfaite. La qualité réelle de l’optique et de la collimation limite souvent à 1× par mm (G = D), et la turbulence à 200 ou 250×.
Champ réel
Cr = CaG
TF = AFM
La portion du ciel vue dans l’oculaire : son champ apparent divisé par le grossissement.
Valeurs typiques : Plössl 50 à 52°, grand champ 68 à 82°, ultra grand champ 100°. La pleine Lune fait 0,5°.
Champ réel par le diaphragme
Cr = 57,3 × dcF
TF = 57.3 × dfsF
La méthode la plus juste : le diaphragme de champ de l’oculaire vu depuis l’objectif.
Valeurs typiques : Plössl 25 mm : diaphragme d’environ 27 mm ; au plus 27 mm au coulant 31,75 et 46 mm au coulant 50,8.
Pouvoir séparateur
Pouvoir séparateur (Dawes)
ρ = 116D
ρ = 116D
L’écart minimal entre deux étoiles égales que l’on voit encore séparées.
Valeurs typiques : 114 mm : 1,0″ ; 200 mm : 0,58″. La turbulence limite souvent à 1 ou 2″.
Pouvoir séparateur (Rayleigh)
ρ = 138D
ρ = 138D
Le critère théorique de la diffraction, 1,22 λ/D, en lumière verte (550 nm) ; un peu plus strict que Dawes.
Valeurs typiques : 114 mm : 1,2″ ; 200 mm : 0,69″.
Astrophotographie
Échelle au foyer
E = 206 265F
E = 206 265F
L’angle du ciel couvert par un millimètre au plan focal.
Valeurs typiques : 1 000 mm : 206″/mm ; 2 000 mm : 103″/mm.
Échantillonnage
e = 206,265 × pxF
e = 206.265 × pxF
L’angle du ciel couvert par un pixel.
Valeurs typiques : Ciel profond : 1 à 2″/px selon la turbulence ; planètes : 0,1 à 0,3″/px.
Champ d’un capteur
θ = 57,3 × hF
θ = 57.3 × hF
L’angle couvert par un côté du capteur (approximation des petits angles, juste à 1 % sous 20°).
Valeurs typiques : APS-C 23,5 × 15,6 mm ; plein format 36 × 24 mm ; petite caméra planétaire 11 × 6 mm.
Taille de l’image au foyer
d = F × θrad
d = F × θrad
Le diamètre de la Lune ou d’une planète sur le capteur.
Valeurs typiques : Lune (31′) à 1 000 mm : 9 mm ; Jupiter (45″) : 0,22 mm.
Règle des 500
t = 500k × F
t = 500k × F
La pose maximale sans traînées d’étoiles, appareil sur pied fixe. Simple, mais trop optimiste avec les capteurs actuels.
Valeurs typiques : 24 mm en plein format : 21 s ; 18 mm en APS-C (k = 1,5) : 19 s.
Règle NPF
t = 35 N + 30 pxF
t = 35 N + 30 pxF
La pose maximale sans traînées, en tenant compte de l’ouverture et de la taille des pixels (forme simplifiée de Frédéric Michaud, SAF).
Valeurs typiques : 14 mm à f/2,8, pixels de 4,3 µm : 16 s.
Zone critique de mise au point
Z = 4,88 λ N2
Z = 4.88 λ N2
La profondeur dans laquelle l’image reste nette : plus N est petit, plus la mise au point est délicate.
Valeurs typiques : λ = 0,55 µm : f/4, 43 µm ; f/10, 268 µm.
Le ciel en chiffres
Diamètre apparent
θrad = sd
θrad = sd
L’angle sous lequel on voit un objet, d’après sa taille réelle et sa distance.
Valeurs typiques : Lune : 3 474 km à 384 400 km, 31′ ; Soleil : 32′.
Module de distance
m − M = 5 log10 (d10 pc)
m − M = 5 log10 (d10 pc)
Relie la magnitude apparente m, la magnitude absolue M (l’éclat vu à 10 parsecs) et la distance.
Valeurs typiques : Véga : M = 0,6 à 7,68 pc, m = 0,03. Soleil : M = 4,83.
Temps de trajet de la lumière
t = dc
t = dc
Le temps que met la lumière pour nous parvenir : on voit l’objet tel qu’il était.
Valeurs typiques : Lune : 1,3 s ; Soleil : 8 min 19 s ; Proxima du Centaure : 4,2 ans.
Construction
Flèche d’un miroir
s = D216 F
s = D216 F
La profondeur du creux au centre du miroir, à atteindre au dégrossi.
Valeurs typiques : 200 mm à 1 000 mm : 2,5 mm ; 150 mm à 1 200 mm : 1,2 mm.
Trigonométrie sphérique
Sur la sphère céleste, trois grands cercles qui se croisent délimitent un triangle sphérique. Ses côtés sont des arcs, que l’on mesure comme des angles vus depuis le centre de la sphère ; ses angles sont ceux que forment les grands cercles entre eux. Côtés et angles vont de 0 à 180°. La règle des cosinus pour les côtés était déjà connue sous d’autres formes, chez les astronomes du monde islamique puis chez Regiomontanus ; on attribue à François Viète la publication, en 1593, de sa forme duale pour les angles, et les deux portent souvent son nom. Les angles s’entrent en degrés, minutes ou secondes d’arc. Quand une valeur sort d’un arc sinus ou d’un arc cosinus, deux réponses peuvent convenir : la carte donne la principale et signale l’autre.
Règle des cosinus pour les côtés
cos a = cos b · cos c + sin b · sin c · cos A
cos a = cos b · cos c + sin b · sin c · cos A
Donne un côté à partir des deux autres et de l’angle qu’ils encadrent : la formule la plus employée en astronomie de position.
Valeurs typiques : b = 60°, c = 70°, A = 80° : a ≈ 71,8°. Quand b ou c est l’inconnue, deux valeurs peuvent convenir.
Règle des cosinus pour les angles
cos A = −cos B · cos C + sin B · sin C · cos a
cos A = −cos B · cos C + sin B · sin C · cos a
Le pendant de la précédente : un angle à partir des deux autres et du côté qui les relie.
Valeurs typiques : B = 60°, C = 70°, a = 50° : A ≈ 69,4°. Dans un triangle sphérique, la somme des angles dépasse toujours 180°.
Règle des sinus
sin asin A = sin bsin B
sin asin A = sin bsin B
Le sinus d’un côté divisé par le sinus de l’angle opposé donne le même nombre pour les trois couples.
Valeurs typiques : A = 60°, b = 50°, B = 70° : a ≈ 44,9°. Un sinus ne distingue pas x de 180° − x : la carte signale la seconde solution quand elle reste possible, la figure dit laquelle garder.
Hauteur d’un astre
sin Hc = sin φ · sin δ + cos φ · cos δ · cos AHL
sin Hc = sin φ · sin δ + cos φ · cos δ · cos LHA
La règle des cosinus dans le triangle de position (pôle, zénith, astre) : la hauteur Hc d’après la latitude φ, la déclinaison δ et l’angle horaire local AHL.
Valeurs typiques : Paris (φ = 48,85°), Véga (δ = 38,78°), AHL = 30° : Hc ≈ 66,3°. Pour l’AHL, x et 360° − x donnent la même hauteur.
Azimut d’un astre
cos Z = sin δ − sin φ · sin Hccos φ · cos Hc
cos Z = sin δ − sin φ · sin Hccos φ · cos Hc
Du même triangle, l’angle Z compté depuis le nord, de 0 à 180°, vers l’est ou vers l’ouest. Si AHL < 180°, l’astre est à l’ouest et l’azimut vaut 360° − Z ; sinon, il vaut Z. La carte résout Z entre 0 et 180°.
Valeurs typiques : Même exemple : Z ≈ 103,8° et AHL = 30°, donc azimut ≈ 256,2°, à l’ouest.