O sextante e o almanaque náutico: três séculos de navegação astronômica

Durante três séculos, os navegantes determinaram sua posição com um instrumento de latão, um relógio e um livro de números. O sextante mede a altura de um astro acima do horizonte; o almanaque diz onde esse astro está a cada instante; um pouco de trigonometria faz o resto. O GPS tornou o método desnecessário no dia a dia, mas não obsoleto: ele não depende de nenhum satélite nem de nenhuma bateria, e continua sendo uma das mais belas aplicações da astronomia.

Este artigo conta a história do instrumento e das tábuas e depois explica como ler as efemérides do Sol e da Lua do nosso almanaque para 2027–2035.

Antes do sextante: medir a latitude

Achar a latitude é fácil desde a Antiguidade: a altura da Estrela Polar acima do horizonte é aproximadamente igual à latitude do lugar, e a altura do Sol ao meio-dia também a dá, desde que se conheça a declinação do Sol naquele dia. Basta medir um ângulo.

Os navegadores portugueses do fim do século XV levavam para isso o astrolábio náutico, um pesado disco de bronze que se pendurava para visar o Sol, e o quadrante. No século XVI, a balestilha, ou báculo de Jacó, tomou o seu lugar. O astrônomo Levi ben Gerson a havia descrito no século XIV: uma vara graduada com uma travessa deslizante, apontada a olho entre o horizonte e o astro. Era preciso olhar diretamente para o Sol. Em 1594, o navegador inglês John Davis inventou o quadrante de Davis (backstaff), que mede a altura do Sol de costas para ele, pela sombra de uma pínula.

Todas essas medidas são feitas a bordo de um navio que joga, visando duas direções ao mesmo tempo. Sua precisão raramente era melhor que meio grau, umas trinta milhas náuticas.

A dupla reflexão: o octante, depois o sextante

O grande avanço veio da óptica: com dois espelhos, você vê o horizonte e o astro sobrepostos na mesma luneta. O navio pode jogar; as duas imagens se movem juntas. Isaac Newton havia formulado o princípio, mas seu trabalho, confiado a Edmond Halley, só foi encontrado em 1742. Enquanto isso, em 1731, John Hadley apresentou seu octante à Royal Society; o americano Thomas Godfrey havia concebido um, de forma independente, na Filadélfia.

Graças à dupla reflexão, um arco de um oitavo de círculo (45°) mede ângulos de até 90°. Em 1757, o capitão John Campbell propôs alongar o arco para um sexto de círculo (60°), para medir até 120°. É o sextante, cuja forma quase não mudou desde então. O comprimento a mais não era um detalhe: achar a longitude exigia medir grandes ângulos entre a Lua e uma estrela.

No fim do século XVIII, a máquina de dividir de Jesse Ramsden permitiu gravar escalas precisas a poucos segundos de arco. Com um nônio, e depois um tambor micrométrico, um bom sextante lê até um décimo de minuto de arco.

O problema da longitude

A longitude resistia. A Terra gira 15° por hora, então conhecer a longitude é conhecer a diferença entre a hora local, dada pelo Sol, e a hora de um meridiano de referência no mesmo instante. Sem um relógio confiável no mar, era impossível. Os naufrágios se acumulavam, e em 1714 o Parlamento britânico aprovou o Longitude Act, prometendo 20 000 libras a quem encontrasse um método prático.

Duas soluções concorreram.

• Os relógios marítimos. O relojoeiro John Harrison dedicou a vida a um relógio que mantivesse a hora apesar do balanço do mar e das mudanças de temperatura. O quarto, o H4, um grande relógio de bolso, atrasou apenas alguns segundos na viagem à Jamaica em 1761–1762. James Cook levou uma cópia, o K1, na sua segunda viagem (1772–1775) e o chamou de guia fiel. Mas os cronômetros ainda seriam raros e caros por muito tempo.
• As distâncias lunares. A Lua se desloca cerca do seu próprio diâmetro por hora em relação às estrelas: um relógio celeste, legível de qualquer lugar. Com um sextante você mede sua distância angular a uma estrela, e as tábuas dão a hora de Greenwich correspondente. O método exige tábuas da Lua muito precisas, que o astrônomo alemão Tobias Mayer forneceu, e horas de cálculo.

Em 1766, o astrônomo real Nevil Maskelyne publicou o primeiro Nautical Almanac, para o ano de 1767, com as distâncias lunares calculadas a cada três horas. Na França, a Connaissance des temps, fundada em 1679 pelo abade Jean Picard, também publicava distâncias lunares; é hoje a mais antiga efeméride publicada sem interrupção. O Bureau des longitudes, criado em 1795, assumiu sua publicação. Só no século XIX os cronômetros ficaram baratos o bastante para equipar todos os navios e tornar as distâncias lunares desnecessárias.

A reta de altura

Com um sextante e um cronômetro, os navegantes podiam medir a altura de um astro e conhecer a hora de Greenwich. Faltava interpretar bem essa medida. Ela servia para calcular a longitude, supondo conhecida a latitude: se a latitude estava errada, a longitude também estava. Em 17 de dezembro de 1837, aproximando-se do canal de São Jorge depois de dias de nevoeiro, o capitão americano Thomas Sumner duvidou da sua latitude. Refez o cálculo com três latitudes diferentes: as três posições ficavam alinhadas, numa linha que passava pelo farol de Smalls. Ele seguiu essa linha, e o farol apareceu. Uma altura do Sol não dá um ponto, mas uma linha sobre a qual você está, e duas linhas se cruzam na sua posição.

Em 1875, o oficial da marinha francesa Adolphe Marcq de Blond de Saint-Hilaire publicou o método de Marcq Saint-Hilaire, ensinado até hoje em toda parte. A cada instante, cada astro está na vertical de um ponto da Terra, sua posição geográfica. Medir sua altura diz que você está num círculo centrado nesse ponto. O círculo é enorme, mas perto da sua posição assumida pode ser substituído por uma reta. Calcule a altura que o astro teria vista da posição assumida, a altura estimada; a diferença de alturas Δa entre a altura verdadeira e a estimada, em minutos de arco, dá a distância da reta de altura em milhas náuticas. É exatamente o que faz a nossa ferramenta de posição astronômica.

Esse cálculo é de trigonometria esférica. O polo celeste, o zênite do observador e o astro formam um triângulo na esfera celeste, o triângulo de posição. Seus lados são 90° menos a latitude, 90° menos a declinação e 90° menos a altura, e seu ângulo no polo é o ângulo horário local. A fórmula de Viète, que leva o nome do matemático francês que a publicou em 1593 (formas equivalentes já eram conhecidas antes dele), liga um lado aos outros dois e ao ângulo entre eles. Aplicada a esse triângulo, ela dá de imediato a altura estimada: sen ae = sen φ · sen δ + cos φ · cos δ · cos AHL. Uma fórmula parecida dá o azimute do astro, que fixa a direção da reta de altura. As duas estão no nosso cartão de fórmulas, junto com as fórmulas de Viète gerais: preencha todos os valores menos um, e o cartão calcula o último.

No século XX, as tábuas de redução prontas e o Air Almanac tornaram o método rápido o bastante para os navegadores aéreos, que usavam sextantes de bolha. Depois o GPS o relegou a recurso de emergência. Nos anos 2010, porém, várias marinhas, entre elas a dos Estados Unidos, voltaram a ensiná-lo aos seus oficiais: não há como bloquear um sextante com interferência.

O que um almanaque contém

Para o navegante, um astro se localiza como um lugar na Terra:

• sua declinação é a latitude da sua posição geográfica, positiva ao norte;
• seu ângulo horário em Greenwich, ou AHG, é a longitude dessa posição, contada para oeste de 0 a 360°.

O AHG do Sol cresce cerca de 15° por hora, o da Lua cerca de 14°, um pouco mais ou menos conforme o dia. O almanaque dá os dois valores a cada hora cheia de tempo universal (UTC), com as suas variações horárias: v, o excesso da variação do AHG sobre 15° (Sol) ou 14° (Lua), e d, a variação da declinação, em minutos de arco por hora. Para uma observação feita entre duas horas cheias, parta do valor da hora cheia anterior e some a variação em proporção aos minutos decorridos.

O almanaque também dá o necessário para corrigir a altura medida: o semidiâmetro do Sol ou da Lua, pois você visa o limbo e não o centro, e a paralaxe horizontal da Lua, que está tão perto que a sua direção depende do ponto de onde é vista.

As nossas efemérides

Oferecemos um caderno para imprimir e encadernar, de 2027 a 2035: para cada mês, a página do Sol e depois a da Lua.

O caderno abre com as instruções e as tábuas que levam da leitura do sextante à altura verdadeira: a depressão do horizonte para a elevação do seu olho, a correção total do Sol e da Lua, que combina refração, paralaxe e semidiâmetro, os acréscimos do AHG para os minutos e segundos, e as correções de v e d. Elas são calculadas com as mesmas fórmulas da nossa ferramenta de posição astronômica.

O Sol ocupa duas linhas por dia: a primeira dá o AHG, a segunda a declinação, para as 12 horas em torno do meio-dia solar no meridiano de Greenwich (0°) na edição do Atlântico ao Índico, no meridiano 180° na edição Pacífico (ali de 0 h a 5 h e depois de 18 h a 23 h; cada linha continua sendo um dia UTC). A última coluna dá v na linha do AHG e d na linha da declinação. O semidiâmetro do mês vem impresso abaixo da tabela.

A Lua segue o mesmo esquema, em 11 horas centradas na sua passagem meridiana. Como a Lua cruza o meridiano cerca de 50 minutos mais tarde a cada dia, a janela se desloca uma hora por dia. Para achar a coluna de uma observação, tome (hora UTC − número do dia) módulo 24: no dia 12 às 10 h UTC, é a coluna 22 (10 − 12 = −2, ou seja, 22). Duas colunas a mais dão o semidiâmetro e a paralaxe horizontal, e um pequeno símbolo marca os dias das fases.

As posições foram calculadas com a biblioteca PyEphem para o Sol, e com o Skyfield e a efeméride DE421 do Jet Propulsion Laboratory para a Lua. Elas são arredondadas ao décimo de minuto de arco, a precisão de uma leitura do sextante.

As efemérides são distribuídas sob a licença Creative Commons BY-NC-SA 4.0: imprima, compartilhe, leve a bordo, desde que cite a fonte, não faça uso comercial e distribua qualquer adaptação sob a mesma licença.

Um exemplo resolvido

Em 11 de abril de 2027, cerca de trinta milhas ao sul de Porquerolles, diante de Toulon, a costa está fora de vista. Às 14 h 30 min 52 s UTC você mede a altura do limbo inferior do Sol: o sextante marca 38°35,7′ (a altura instrumental ai), o erro instrumental ei é de +1,4′ e o seu olho está a 2,5 m acima da água.

A altura. ai − ei = 38°35,7′ − 1,4′ = 38°34,3′. A depressão do horizonte (tábua 1) tira 2,8′: 38°31,5′. A correção total do Sol (tábua 2, de abril a setembro) soma 14,8′: a altura verdadeira é a = 38°46,3′.

A posição do Sol. Na página de abril de 2027, na linha do dia 11, coluna 14 h, você lê:

	Valor às 14 h	Δ′/h
AHG	29°43,7′	+0,2
Declinação	8°22,1′	+0,9

Para os 30 min 52 s decorridos, a tábua 4 dá 7°30,0′ + 13,0′ = 7°43,0′, e a tábua 5 soma 0,1′ por v: o AHG é 37°26,8′. A tábua 5 dá também +0,5′ por d: a declinação é 8°22,6′ N. O Sol está na vertical do ponto 8°22,6′ N, 37°26,8′ W, em pleno Atlântico.

Só falta inserir esses valores e a sua posição estimada na ferramenta de posição astronômica, que traça a reta de altura. Uma segunda observação, a Lua às 14 h 41 min 33 s, dá a segunda reta: é o exemplo da ferramenta, e a figura abaixo.

Determinar a posição

Uma só reta de altura não dá a posição: são precisas duas, com azimutes bem diferentes, de preferência em ângulo reto. Servem o Sol de manhã e à tarde, levando em conta a distância navegada entre as duas observações, ou o Sol e a Lua quando ambos estão acima do horizonte de dia.

Em terra, você pode praticar com um horizonte artificial, uma bandeja de água ou de óleo na qual se visa o reflexo do astro; o ângulo medido é então o dobro da altura.