De sextant en de nautische almanak: drie eeuwen astronavigatie

Drie eeuwen lang bepaalden zeevaarders hun positie met een koperen instrument, een uurwerk en een boek vol getallen. De sextant meet de hoogte van een hemellichaam boven de kim; de almanak zegt waar dat hemellichaam op elk moment staat; een beetje goniometrie doet de rest. Gps heeft de methode in het dagelijks gebruik overbodig gemaakt, maar niet achterhaald: ze hangt van geen satelliet en geen batterij af, en blijft een van de mooiste toepassingen van de sterrenkunde.

Dit artikel volgt de geschiedenis van het instrument en van de tafels, en legt daarna uit hoe je de efemeriden van zon en maan in onze almanak voor 2027–2035 leest.

Vóór de sextant: de breedte meten

De breedte vinden is al sinds de oudheid eenvoudig: de hoogte van de Poolster boven de horizon is ongeveer gelijk aan de breedte van de plaats, en de hoogte van de zon op het middaguur geeft die ook, als je de declinatie van de zon voor die dag kent. Het enige wat je moet doen, is een hoek meten.

Portugese zeevaarders van het eind van de 15e eeuw hadden daarvoor een zeeastrolabium bij zich, een zware bronzen schijf die je ophing om de zon te peilen, en het kwadrant. In de 16e eeuw nam de jakobsstaf, of graadboog, het over. De sterrenkundige Levi ben Gerson had hem in de 14e eeuw beschreven: een staf met schaalverdeling en een verschuifbaar dwarshout, waarmee je met het oog tussen de kim en het hemellichaam peilde. Je moest recht in de zon kijken. In 1594 vond de Engelse zeevaarder John Davis het Davis-kwadrant (de backstaff) uit, dat de hoogte van de zon meet met je rug naar de zon, via de schaduw van een vizier.

Al die metingen gebeuren aan boord van een slingerend schip, terwijl je in twee richtingen tegelijk peilt. Hun nauwkeurigheid was zelden beter dan een halve graad, zo’n dertig zeemijl.

Dubbele spiegeling: het octant, daarna de sextant

De doorbraak kwam uit de optica: met twee spiegels zie je de kim en het hemellichaam over elkaar heen in dezelfde kijker. Het schip mag slingeren; beide beelden bewegen samen. Isaac Newton had het principe uitgewerkt, maar zijn stuk, toevertrouwd aan Edmond Halley, werd pas in 1742 teruggevonden. Intussen had John Hadley in 1731 zijn octant aan de Royal Society voorgesteld; de Amerikaan Thomas Godfrey had er los daarvan een ontworpen in Philadelphia.

Dankzij de dubbele spiegeling meet een boog van een achtste cirkel (45°) hoeken tot 90°. In 1757 stelde kapitein John Campbell voor de boog te verlengen tot een zesde cirkel (60°), om tot 120° te kunnen meten. Dat is de sextant, waarvan de vorm sindsdien nauwelijks is veranderd. Die extra lengte was geen detail: de lengte vinden betekende grote hoeken meten tussen de maan en een ster.

Aan het eind van de 18e eeuw maakte de verdeelmachine van Jesse Ramsden het mogelijk schalen te graveren die tot op enkele boogseconden nauwkeurig waren. Met een nonius, en later een micrometertrommel, leest een goede sextant af tot op een tiende boogminuut.

Het lengteprobleem

De lengte bleef zich verzetten. De aarde draait 15° per uur, dus je lengte kennen betekent het verschil kennen tussen de plaatselijke tijd, die de zon geeft, en de tijd op een referentiemeridiaan op hetzelfde moment. Zonder betrouwbare klok op zee was dat onmogelijk. De schipbreuken stapelden zich op, en in 1714 nam het Britse parlement de Longitude Act aan, die £20 000 beloofde aan wie een bruikbare methode vond.

Twee oplossingen streden met elkaar.

• Scheepsklokken. De klokkenmaker John Harrison wijdde zijn leven aan een klok die de tijd zou bijhouden ondanks het slingeren van het schip en de wisselende temperaturen. Zijn vierde, de H4, een groot horloge, verloor op de reis naar Jamaica in 1761–1762 maar een paar seconden. James Cook nam een kopie, de K1, mee op zijn tweede reis (1772–1775) en noemde hem een trouwe gids. Maar chronometers zouden nog lang zeldzaam en duur blijven.
• Maansafstanden. De maan beweegt per uur ongeveer haar eigen middellijn ten opzichte van de sterren: een hemelse klok, die overal af te lezen is. Met een sextant meet je haar hoekafstand tot een ster, en tafels geven de bijbehorende tijd in Greenwich. De methode vraagt heel nauwkeurige maantafels, die de Duitse sterrenkundige Tobias Mayer leverde, en uren rekenwerk.

In 1766 publiceerde de Astronomer Royal Nevil Maskelyne de eerste Nautical Almanac, voor het jaar 1767, met maansafstanden die om de drie uur waren berekend. In Frankrijk publiceerde de Connaissance des temps, in 1679 opgericht door abbé Jean Picard, ook maansafstanden; het is nu de oudste efemeride die zonder onderbreking verschijnt. Het Bureau des longitudes, opgericht in 1795, nam de uitgave over. Pas in de 19e eeuw werden chronometers goedkoop genoeg om elk schip ermee uit te rusten en de maansafstanden overbodig te maken.

De hoogtelijn

Met een sextant en een chronometer konden zeevaarders de hoogte van een hemellichaam meten en de tijd in Greenwich kennen. Nu moest die meting nog goed gelezen worden. Men gebruikte haar om de lengte uit te rekenen, uitgaande van een bekende breedte: was de breedte fout, dan was de lengte het ook. Op 17 december 1837 twijfelde de Amerikaanse kapitein Thomas Sumner, na dagen mist op weg naar het St George’s Channel, aan zijn breedte. Hij deed de berekening opnieuw met drie verschillende breedten: de drie posities lagen op één lijn, die door de vuurtoren van de Smalls liep. Hij volgde die lijn, en de vuurtoren kwam in zicht. Eén zonshoogte geeft geen punt maar een lijn waarop je je bevindt, en twee lijnen snijden elkaar in je positie.

In 1875 publiceerde de Franse marineofficier Adolphe Marcq de Blond de Saint-Hilaire de hoogteverschilmethode, die nog overal wordt onderwezen. Op elk moment staat elk hemellichaam loodrecht boven een punt van de aarde, zijn aardse projectie. Meet je zijn hoogte, dan weet je dat je op een cirkel rond dat punt staat. Die cirkel is enorm, maar in de buurt van je gegiste positie kun je hem door een rechte lijn vervangen. Bereken de hoogte die het hemellichaam vanaf de gegiste positie zou hebben, de berekende hoogte Hc; het verschil met de ware hoogte Hw, het hoogteverschil ΔH = Hc − Hw in boogminuten, geeft de afstand van de hoogtelijn in zeemijlen. Dat is precies wat onze tool voor plaatsbepaling met de sterren doet.

Die berekening is boldriehoeksmeting. De hemelpool, het zenit van de waarnemer en het hemellichaam vormen op de hemelbol een driehoek, de parallactische driehoek. Zijn zijden zijn 90° min de breedte, 90° min de declinatie en 90° min de hoogte, en zijn hoek bij de pool is de plaatselijke uurhoek. De formule van Viète, genoemd naar de Franse wiskundige die haar in 1593 publiceerde (gelijkwaardige vormen waren al vóór hem bekend), verbindt een zijde met de twee andere en de hoek daartussen. Toegepast op deze driehoek geeft ze meteen de berekende hoogte: sin Hc = sin φ · sin δ + cos φ · cos δ · cos LHA. Een verwante formule geeft het azimut van het hemellichaam, dat de richting van de hoogtelijn bepaalt. Beide staan op onze formulekaart, samen met de algemene formules van Viète: vul alle waarden op één na in, en de kaart berekent de laatste.

In de 20e eeuw maakten kant-en-klare kortbestektafels en de Air Almanac de methode snel genoeg voor luchtvaartnavigators, die met bellensextanten werkten. Daarna schoof gps haar naar de reserve. In de jaren 2010 hebben echter verschillende marines, waaronder de Amerikaanse, haar weer in de opleiding van hun officieren opgenomen: een sextant kun je niet storen.

Wat een almanak bevat

Voor de navigator ligt een hemellichaam vast zoals een plaats op aarde:

• zijn declinatie is de breedte van zijn aardse projectie, positief naar het noorden;
• zijn uurhoek van Greenwich, of GHA, is de lengte van die projectie, westwaarts geteld van 0 tot 360°.

De GHA van de zon neemt ongeveer 15° per uur toe, die van de maan ongeveer 14°, al naar gelang de dag iets meer of minder. De almanak geeft beide waarden voor elk heel uur wereldtijd (UTC), met hun verandering per uur: v, het overschot van de GHA-toename boven 15° (zon) of 14° (maan), en d, de verandering van de declinatie, in boogminuten per uur. Voor een waarneming tussen twee hele uren begin je bij de waarde van het vorige hele uur en tel je de verandering op naar verhouding van de verstreken minuten.

De almanak geeft ook wat nodig is om de gemeten hoogte te corrigeren: de halve middellijn van zon of maan, omdat je hun rand peilt en niet hun middelpunt, en de horizontale parallax van de maan, die zo dichtbij staat dat haar richting afhangt van waar je haar ziet.

Onze efemeriden

We bieden een boekje om af te drukken en in te binden, Efemeriden van Zon en Maan 2027–2035: voor elke maand de pagina van de zon en daarna die van de maan.

Het boekje begint met een gebruiksaanwijzing en de tafels die je van de aflezing van de sextant naar de ware hoogte brengen: de kimduiking voor je ooghoogte, de totale correctie voor zon en maan, die refractie, parallax en halve middellijn combineert, de GHA-toenames voor minuten en seconden, en de correcties voor v en d. Ze zijn berekend met dezelfde formules als onze tool voor plaatsbepaling.

De zon neemt twee regels per dag in: de eerste geeft de GHA, de tweede de declinatie, voor de 12 uur rond de ware middag op de meridiaan van Greenwich (0°) in de editie van de Atlantische tot de Indische Oceaan, op de meridiaan van 180° in de editie Stille Oceaan (daar 0 h tot 5 h, dan 18 h tot 23 h; elke regel blijft één UTC-dag). De laatste kolom geeft v op de GHA-regel en d op de declinatieregel. De halve middellijn van de maand staat onder de tabel.

De maan volgt hetzelfde patroon, over 11 uur rond haar meridiaandoorgang. Omdat de maan elke dag ongeveer 50 minuten later door de meridiaan gaat, schuift het venster elke dag een uur op. Om de kolom van een waarneming te vinden, neem je (uur UTC − dagnummer) modulo 24: op de 12e om 10 h UTC de kolom met kop 22 (10 − 12 = −2, dus 22). Twee extra kolommen geven de halve middellijn en de horizontale parallax, en een klein symbool markeert de dagen van de schijngestalten.

De posities zijn berekend met de bibliotheek PyEphem voor de zon, en met Skyfield en de efemeride DE421 van het Jet Propulsion Laboratory voor de maan. Ze zijn afgerond op een tiende boogminuut, de precisie van een sextantaflezing.

De efemeriden worden verspreid onder de licentie Creative Commons BY-NC-SA 4.0: druk ze af, deel ze, neem ze mee aan boord, zolang je de bron vermeldt, er geen commercieel gebruik van maakt en elke bewerking onder dezelfde licentie verspreidt.

Een uitgewerkt voorbeeld

Op 11 april 2027, zo’n dertig zeemijl ten zuiden van Porquerolles, voor Toulon, is de kust uit zicht. Om 14 h 30 min 52 s UTC meet je de hoogte van de onderrand van de zon: de sextant geeft 38°35,7′ (de gemeten hoogte Hi), de indexfout is +1,4′ en je oog staat 2,5 m boven het water.

De hoogte. 38°35,7′ − 1,4′ = 38°34,3′. De kimduiking (tafel 1) trekt er 2,8′ af: 38°31,5′. De totale correctie voor de zon (tafel 2, april tot september) telt er 14,8′ bij op: de ware hoogte Hw is 38°46,3′.

De positie van de zon. Op de pagina van april 2027 lees je in de regel van de 11e, kolom 14 h:

	Waarde om 14 h	Δ′/h
GHA	29°43,7′	+0,2
Declinatie	8°22,1′	+0,9

Voor de 30 min 52 s die sindsdien verstreken zijn, geeft tafel 4 7°30,0′ + 13,0′ = 7°43,0′, en tafel 5 telt er 0,1′ voor v bij op: de GHA is 37°26,8′. Tafel 5 geeft ook +0,5′ voor d: de declinatie is 8°22,6′ N. De zon staat loodrecht boven 8°22,6′ NB, 37°26,8′ WL, midden in de Atlantische Oceaan.

Je hoeft deze waarden en je gegiste positie alleen nog in te voeren in de tool voor plaatsbepaling met de sterren, die de hoogtelijn tekent. Een tweede waarneming, de maan om 14 h 41 min 33 s, geeft de tweede lijn: dat is het voorbeeld van de tool, en de afbeelding hieronder.

Een positie bepalen

Eén hoogtelijn geeft geen positie: je hebt er twee nodig, met duidelijk verschillende azimuts, liefst haaks op elkaar. De zon ’s ochtends en ’s middags, rekening houdend met de afgelegde verheid daartussen, of de zon en de maan als ze overdag allebei boven de horizon staan: dat werkt.

Aan land kun je oefenen met een kunstmatige horizon, een bakje water of olie waarin je de weerspiegeling van het hemellichaam peilt; de gemeten hoek is dan tweemaal de hoogte.